量子確率論の基礎

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量子確率論を基本事項からわかりやすく解説した参考書

本書は、量子確率論（非可換確率論、代数的確率論）を基本事項からわかりやすく解説するものです。確率論の中心的概念である「独立性」と付随する「中心極限定理」の多様性を主テーマとし、応用上興味深く発展性のある、グラフの漸近的スペクトル解析にも触れています。

量子確率論は、量子力学における統計的諸問題と表裏一体のものとして研究されてきました。現在では、量子情報理論への応用や、非可換数学（量子群、非可換幾何など）とともに新しい数学的構造を見出すべく、量子確率論の適用の場が広がっています。

線型代数と測度論の初等的知識があれば十分に通読できるように、構成を配慮しました。



※本書は、『数理情報科学シリーズ21 量子確率論の基礎』（牧野書店）を、オーム社より発行するものです。



第1章　代数的確率空間

　1.1　*-代数

　1.2　状態と代数的確率空間

　1.3　代数的確率変数

　1.4　不確定性関係

　1.5　行列代数と密度行列

　1.6　測度論的確率論の代数化

　演習問題1



第2章　代数的確率変数の表現

　2.1　ヒルベルト空間と有界線型作用素

　2.2　作用素のトレース

　2.3　密度作用素と正規状態

　2.4　非有界作用素

　2.5　GNS構成法

　2.6　C*-確率空間

　2.7　W*-代数と測度論的確率変数

　2.8　ヒルベルト空間と作用素のテンソル積

　演習問題2



第3章　量子コイン投げ

　3.1　フェルミオン・フォック確率空間

　3.2　2×2行列代数上の状態の一般形

　3.3　ベル不等式

　3.4　2-準位系におけるベル不等式の破れ

　3.5　n-準位系への一般化

　演習問題3



第4章　量子調和振動子

　4.1　CCR代数とフォック表現

　4.2　ボゾン・フォック確率空間の解析的表現

　4.3　量子調和振動子

　4.4　ワイル作用素とコヒーレント状態

　4.5　ボゾン・フォック空間からブラウン運動へ

　4.6　ポアソン型確率変数の代数的表現

　演習問題4



第5章　可換独立性

　5.1　代数的確率空間のテンソル積

　5.2　量子ベルヌーイ過程

　5.3　量子中心極限定理

　5.4　コヒーレント状態における収束

　5.5　整数格子上のランダム・ウォーク

　5.6　古典中心極限定理

　演習問題5



第6章　シングルトン条件

　6.1　シングルトン条件

　6.2　量子大数の法則

　6.3　代数的確率空間のテンソル積と可換独立性

　演習問題6



第7章　自由独立性

　7.1　樹木上のランダム・ウォーク

　7.2　自由フォック空間（1自由度）

　7.3　自由独立性

　7.4　自由フォック空間（無限自由度）

　7.5　ヴォイクレスクのR-変換

　7.6　中心極限定理

　演習問題7



第8章　相互作用フォック確率空間

　8.1　相互作用フォック空間

　8.2　直交多項式

　8.3　測度論的確率変数の量子分解

　8.4　非交差対分割におけるモーメントの表示

　8.5　スチルチェス変換

　演習問題8



第9章　隣接行列の漸近的スペクトル解析

　9.1　グラフの隣接行列

　9.2　グラフの階層化と隣接行列の量子分解

　9.3　量子中心極限定理

　9.4　各階層の大きさの評価

　9.5　定理9.13の証明

　9.6　ケーリー・グラフ

　9.7　極限の多様性

　9.8　ケスチン分布の導出

　演習問題9



第10章　単調独立性とグラフの櫛形積

　10.1　量子コイン投げに対する単調中心極限定理

　10.2　単調フォック空間

　10.3　単調独立性と単調中心極限定理

　10.4　グラフの櫛形積

　10.5　2次元櫛形格子

　演習問題10



あとがき

参考文献

索引

9784274227578