凸解析と最適化理論

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凸解析と非線形最適化の数理をわかりやすく解説した参考書

本書は、n次元ユークリッド空間上の凸解析と非線形最適化（非線形計画）の数理について、基本事項からわかりやすく解説するものです。

凸解析や非線形最適化の数理は、回帰分析や機械学習（教師あり学習）で用いられる手法の背景となっています。本書では、幅広い応用が見られるエークランドの定理や不動点定理にも触れつつ、多くの命題や定理に詳しい証明を付しているため、理工学系、経済系の学生・研究者に読みやすい構成としています。また、巻末に、本文の理解に必要な微分積分と線形代数の内容をまとめた付録と各章末の演習問題の詳解を載せ、読者の利便性を高めました。



※本書は、『数理情報科学シリーズ5 凸解析と最適化理論』（牧野書店）を、オーム社より発行するものです。



第1章　ユークリッド空間

　1.1　ベクトル空間

　1.2　ベクトル空間の次元

　1.3　ベクトル空間の距離

　演習問題1



第2章　位相の導入

　2.1　近傍、開集合、閉集合

　2.2　無限ベクトル列の収束

　2.3　連続関数

　演習問題2



第3章　射影定理とその応用

　3.1　射影定理

　3.2　直交補空間とその性質

　3.3　グラム行列とグラム行列式

　3.4　距離の最小化問題

　演習問題3



第4章　凸集合とその性質

　4.1　集合の凸包

　4.2　凸集合の内部と閉包

　演習問題4



第5章　超平面とその応用

　5.1　超平面

　5.2　ファルカスの定理

　5.3　支持超平面と分離定理

　5.4　凸錐と極錐

　演習問題5



第6章　上半および下半連続関数とその応用

　6.1　上半および下半連続関数

　6.2　エークランドの定理

　演習問題6



第7章　不動点定理とその周辺

　7.1　縮小写像と不動点

　7.2　ハウスドルフの距離

　7.3　集合値縮小写像と不動点

　7.4　複数写像と共通不動点

　演習問題7



第8章　凸関数と方向微分

　8.1　凸関数と準凸関数

　8.2　方向微分とエピグラフ

　8.3　凸関数と劣微分

　演習問題8



第9章　微分可能な凸関数

　9.1　勾配ベクトルと劣勾配ベクトル

　9.2　凸関数の最適化問題

　演習問題9



第10章　最適化問題

　10.1　制約条件なしの最適化問題

　10.2　不等式制約条件をもつ最適化問題

　10.3　制約想定と最適化問題

　10.4　双対最適化問題

　10.5　接錐と法錐

　演習問題10



付録

　A.1　集合

　A.2　上極限および下極限

　A.3　微分とテイラー展開

　A.4　偏微分および全微分

　A.5　積分

　A.6　行列および行列式



参考文献

演習問題解答

索引

9784274227554